Question

【题目】已知直线，.

(1)若直线，分别经过定点，，求定点，的坐标;

(2)是否存在一个定点，使得与的交点到定点的距离为定值?如果存在，求出定点的坐标及定值;如果不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 存在，， .

【解析】

(1)求直线经过定点，即当.求直线经过定点,可将化简为即当

即可得出答案.

(2) 解法一:通过直线可解得将其代入,整理的,进而可以得出定点,和定长.

解法二:当,直线的斜率,直线的斜率,所以，即两条直线始终垂直,根据由圆的知识:圆周角所对的弦是圆的直径, 即可得出和为直径端点的圆周上.即可求出答案.

(1)由，当，则.

由，

当，则.

(2)解法一:由可知当时，得:，

代入，，

整理得:，

可得交点一定在圆:上，

故满足条件的定点为，定值.

解法二:由时两直线垂直，

时，，即两条直线始终垂直，

又过定点，过定点，

则与的交点在以和为直径端点的圆周上，

根据中点坐标公式: 的的圆心为

根两点距离公式: 求得

可得交点一定在圆:上，

故满足条件的定点为，定值.

综上所述: 存在一个定点，使得与的交点到定点的距离为.