Question

已知函数f（x）=ax²-2x-3，
（Ⅰ）当a=1时，方程|f（x）|=m恰有4个解，求m的取值范围．
（Ⅱ）已知

1

3

≤a≤1，若f（x）在区间[1，3]上的最大值为M（a），求M（a）的表达式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=ax²-2x-3，再由方程|f（x）|=m恰有4个解，可得函数y=|f（x）|的图象和直线y=m有4个交点，数形结合可得m的范围．
（Ⅱ）由于函数f（x）=ax²-2x-3的对称轴为x=

1

a

，显然1≤

1

a

≤3．再分①当1≤

1

a

＜2 时和②当2≤

1

a

≤3 时两种情况，分别求得M（a）的解析式．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=ax²-2x-3
=x²-2x-3=（x+1）（x-3）=（x-1）²-4，
再由方程|f（x）|=m恰有4个解，
可得函数y=|f（x）|的图象和直线y=m有4个交点．
如图所示：
故m的取值范围为（0，4）．
（Ⅱ）由于函数f（x）=ax²-2x-3的对称轴为x=

1

a

，
故由

1

3

≤a≤1，可得 1≤

1

a

≤3．
①当1≤

1

a

＜2 时，即

1

2

＜a≤1时，
由二次函数的性质可得f（x）在区间[1，3]上的最大值为M（a）=f（3）=9a-9，
②当2≤

1

a

≤3 时，即

1

3

≤a≤

1

2

时，
由二次函数的性质可得f（x）在区间[1，3]上的最大值为M（a）=f（1）=a-5．
综上可得，M（a）=

9a-9  ， 1 2 ＜a≤1 a-5  ，  1 3 ≤a≤ 1 2

．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论、数形结合、等价转化的数学思想，属于中档题．