Question

（2013•未央区三模）（不等式选讲）若实数a，b，c满足a²+b²+c²=4，则3a+4b+5c的最大值为

10

2

．

Answer 1

分析：首先分析题目已知a²+b²+c²=4，求3a+4b+5c的最大值，考虑到柯西不等式（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）≥（ax+by+cz）²的应用，构造出柯西不等式求出（3a+4b+5c）²的最大值开方即可得到答案．

解答：解：因为已知a、b、c是实数，且a²+b²+c²=4根据柯西不等式（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）≥（ax+by+cz）²
故有（a²+b²+c²）（3²+4²+5²）≥（3a+4b+5c）²
故（3a+4b+5c）²≤200，即3a+4b+5c≤10

2

即2a+b+2c的最大值为10

2

．
故答案为：10

2

．

点评：此题主要考查一般形式的柯西不等式的应用，对于此类题目很多同学一开始就想到应用球的参数方程求解，这个方法可行但是计算量较高，而应用柯西不等式求解较简单，同学们需要很好的理解掌握．