Question

【题目】已知点A（0，﹣2），椭圆E： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为 ，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知 ，得 又 ，

所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程 ．

（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）

将y=kx﹣2代入 ，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，

当△=16（4k2﹣3）＞0，即 时，

从而

又点O到直线PQ的距离 ，所以△OPQ的面积 = ，

设 ，则t＞0， ，

当且仅当t=2，k=± 等号成立，且满足△＞0，

所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y= x﹣2或y=﹣ x﹣2

【解析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入 ，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．