Question

已知函数f（x）=x²-2x+3，若用函数g（t）替代x，则得到函数f[g（t）]，则下列关于g（t）的表达式，会使f[g（t）]的值域不同于f（x）的值域的是（　　）

A．g（t）=2^t

B．g（t）=log₂t

C．g（t）=g²-2t+3

D．g（t）=2t-3

Answer 1

分析：由题意，本题要比较前后两个函数值域是否相同，故先解出f（x）=x²-2x+3值域，再研究四个选项中g（t）的表达式，求出f[g（t）]的值域与数f（x）值域相比较即可得到正确选项．

解答：解：由题意，先研究函数f（x）=x²-2x+3，此二次函数关于x=1对称，其函数值满足f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2≥2，即函数值域是[2，+∞）．
对于A选项，g（t）=2^t∈（0，+∞），可保证新函数f[g（t）]的值域是[2，+∞）．
对于B选项，g（t）=log₂t的值域是R，可保证新函数f[g（t）]的值域是[2，+∞）．
对于C选项，g（t）=t²-2t+3=（t-1）²+2≥2，此时，g（t）=1不成立，此时新函数f[g（t）]的值域不是[2，+∞）．
对于D选项，g（t）=2t-3值域是R，可保证新函数f[g（t）]的值域是[2，+∞）．
综上知，C选项中g（t）的表达式，会使f[g（t）]的值域不同于f（x）的值域．
故选C

点评：本题考查对数函数的值域与最值，考查了复合函数值域的求法，正确解答本题，关键是理解题意，确定解题的方法是比较两个函数值域是否相同，本题的重点是求函数的值域，复合函数值域的求法是本题的难点，其求法步骤一般是先求内层函数值域，再求复合函数的值域．本题考查了判断推理的能力及计算能力．