Question

已知函数f(x)=3sin(

x

2

+

π

6

)+3
（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）若x∈[

π

3

，

4π

3

]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）用五点法函数y=Asin（ωx+∅）在一个周期上的简图．
（2）由-

π

2

+2kπ≤

x

2

+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，求得x的范围，即可求得函数的增区间．
（3）根据x的范围，求得角

x

2

+

π

6

的范围，再根据正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值和最小值．

解答：（1）列表、作图…．（4分）

x	- π 3	2π 3	5π 3	8π 3	11π 3
1 2 x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
y	3	6	3	0	3

（2）由-

π

2

+2kπ≤

x

2

+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，求得-

2π

3

+2kπ≤

x

2

≤

π

3

+2kπ，k∈Z，
所以，-

4π

3

+4kπ≤x≤

2π

3

+4kπ，k∈Z，
所以函数f（x）的单调增区间为[-

4π

3

+4kπ，

2π

3

+4kπ]，k∈Z．-------（8分）
（3）因为

π

3

≤x≤

4π

3

，所以

π

6

≤

x

2

≤

2π

3

，所以

π

3

≤

x

2

+

π

6

≤

5π

6

，
所以当

x

2

+

π

6

=

5π

6

，即x=

4π

3

时，[f(x)]min=

9

2

．
当

x

2

+

π

6

=

π

2

，即x=

2π

3

时，[f（x）]_max=6．----------（12分）

点评：本题主要考查用五点法作函数y=Asin（ωx+∅）的简图，函数y=Asin（ωx+∅）的周期性和求法，求函数y=Asin（ωx+∅）的单调区间，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．