Question

已知A、B、C是直线l上的三点，O是直线l外一点，向量满足
=[f(x)+2f′(1)]－ln(x+1)
(Ⅰ)求函数y=f(x)的表达式；
(Ⅱ)若x>0，证明：f(x)>；
(Ⅲ)若不等式x²≤f(x²)+m²-2m-3对x∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）＝ （Ⅱ） 见解析 (Ⅲ)

(Ⅰ)∵OA=[+2]OB－OC，且A、B、C在直线上，
+2―＝１，                          …………(2分)
y==+1－2，＝，网于是＝，
＝                                         ………(4分)
(Ⅱ)令＝－，由＝－＝，
以及x>0，知>0，在上为增函数，又在x=0处右连续，
当x>0时，得>=0，>     　　　  …………(8分)
(Ⅲ)原不等式等价网于，
令＝＝，则＝＝，（10分）
∵时，>０，时，<０，
在为增函数，在上为减函数，                …………(11分)
当时，＝＝０，从而依题意有０，
解得，故m的取值范围是       …………(12分)