Question

5．已知⊙P经过（4，0），（-2，0），（0，2$\sqrt{6}$-4）三点，
（1）试问点A（5，-1）是否在⊙P上？并说明理由；
（2）过点B（-4，0）作⊙P的切线，求切线方程；
（3）若点C（x，y）为⊙P上一点，求（x-5）²+（y-4）²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，求出圆的方程，即可得出结论；
（2）由题意知点B在圆外，故所求的切线有两条，先判断斜率不存在时是否成立；再设切线方程利用圆心到切线的距离等于半径求斜率．
（3）所求式子表示圆上点到（5，4）距离的平方，从而求（x-5）²+（y-4）²的取值范围．

解答 解：（1）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，则$\left\{\begin{array}{l}{16+4D+F=0}\\{4-2D+F=0}\\{（2\sqrt{6}-4）^{2}+（2\sqrt{6}-4）E+F=0}\end{array}\right.$
∴D=-2，E=8，F=-8，
∴圆的方程为x²+y²-2x+8y-8=0，
A（5，-1）代入，可得25+1-10-8-8=0，∴点A（5，-1）在⊙P上；
（2）圆的方程为x²+y²-2x+8y-8=0，可化为（x-1）²+（y+4）²=25，圆心C（1，-4），半径r=5，
①当切线的斜率不存在时，过点B（-4，0）切线方程：x=-4，
此时圆心C（1，-4）到直线x=-4的距离为5，符合题意；
②当切线的斜率存在时，设过点B（-4，0）切线方程：y=k（x+4），
即 kx-y+4k=0，
∵与圆（x-1）²+（y+4）²=25的相切，
∴5=$\frac{|5k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，解得 k=$\frac{9}{40}$，代入化简得切线方程9x-40y+36=0．
（3）（x-5）²+（y-4）²表示圆上点到（5，4）距离的平方，
圆心（1，-4）与（5，4）距离为$\sqrt{（5-1）^{2}+（4+4）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴（x-5）²+（y-4）²的取值范围是[（4$\sqrt{5}$-5）²，（4$\sqrt{5}$+5）²]．

点评 本题考查圆的方程，求过圆外一点的切线方程，考查数形结合、化归转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力，属于中档题．