某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值;
(3)是否存在v,使得小艇以v海里/时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存在,试确定v的取值范围;若不存在,请说明理由.
(1) 小艇以30
海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小
(2) 10
海里/时 (3)存在，v的取值范围是(15,30)
解析解:(1)法一 设相遇时小艇的航行距离为s海里,则
s=
=
=
.
故当t=
时,smin=10,v=
=30.
即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.
法二 若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向.
如图所示,设小艇与轮船在C处相遇.
在Rt△OAC中,OC="20cos" 30°=10,
AC="20sin" 30°=10.
又AC=30t,OC=vt,
此时,轮船航行时间t=
=,v==30.
即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.
(2)如图所示,设小艇与轮船在B处相遇.
由题意可得
(vt)2=202+(30t)2-2×20×30t×cos(90°-30°),
化简得v2=
-
+900
=400(
-
)2+675.
由于0<t≤
,即≥2,
所以当=2时,v取得最小值10,
即小艇航行速度的最小值为10海里/时.
(3)由(2)知v2=-+900,
设=u(u>0),于是400u2-600u+900-v2=0.(*)
小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,等价于方程(*)应有两个不等正根,即
解得15<v<30.
所以v的取值范围是(15,30).
科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图所示，扇形
，圆心角的大小等于
，半径为2，在半径
上有一动点
，过点作平行于
的直线交弧
于点
.
（1）若是半径的中点，求线段
的长；
（2）设
,求
面积的最大值及此时
的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图,在等腰直角△OPQ中,∠POQ=90°,OP=2
,点M在线段PQ上.
(1)若OM=
,求PM的长;
(2)若点N在线段MQ上,且∠MON=30°,问:当∠POM取何值时,△OMN的面积最小?并求出面积的最小值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos B＝
.
(1)求cos(A＋C)的值；
(2)求sin
的值；
(3)若
·
＝20，求△ABC的面积．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且c＝－3bcosA，tanC＝
.
(1)求tanB的值；
(2)若c＝2，求△ABC的面积．
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在
处取最小值．
的值。
，
，求角C．
的图像经过点
．
的值；
中，
、
、
所对的边分别为
、
、
，若
，且
．求
．
函数
．
的最小正周期和对称轴的方程；
的角
的对边分别为
，且
，求
的取值范围．
·
＋c
·
＝0.
，试求
·