分析 (Ⅰ)设事件A1=“甲引体向上测试达标”,B1=“乙立定跳远测试达标”,B2=“乙引体向上测试达标”,则P(A1)=p,P(B1)=P(B2)=$\frac{1}{2}$,由此利用题设条件求出p=$\frac{2}{3}$,设事件A=“甲测试合格”,B=“乙测试合格”,则P(A)=$\frac{2}{3}$,P(B)=P(B1B2)=$\frac{1}{4}$,由此能求出甲和乙恰有一人合格的概率.
(Ⅱ)由已知得随机变量x的取值为2,3,随机变量y的取值为1,2,3,ξ的可能取值为3,4,5,6,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量ξ的分布列和E(ξ).
解答 解:(Ⅰ)设事件A1=“甲引体向上测试达标”,B1=“乙立定跳远测试达标”,
B2=“乙引体向上测试达标”,则P(A1)=p,P(B1)=P(B2)=$\frac{1}{2}$,
∵甲乙每一项测试是否达标互不影响,甲和乙同时合格的概率为$\frac{1}{6}$,
∴p×($\frac{1}{2}$)2=$\frac{1}{6}$,解得p=$\frac{2}{3}$,
设事件A=“甲测试合格”,B=“乙测试合格”,
则P(A)=$\frac{2}{3}$,P(B)=P(B1B2)=($\frac{1}{2}$)2=$\frac{1}{4}$,
∴甲和乙恰有一人合格的概率:
p=P(A$\overline{B}$)+P($\overline{A}$B)=$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$.
(Ⅱ)由已知得随机变量x的取值为2,3,随机变量y的取值为1,2,3,
∴ξ的可能取值为3,4,5,6,
P(ξ=3)=$\frac{1}{3}×(\frac{1}{2})^{2}$=$\frac{1}{12}$,
P(ξ=4)=$\frac{1}{3}×{C}_{2}^{1}(\frac{1}{2})^{2}+\frac{2}{3}×(\frac{1}{2})^{2}$=$\frac{1}{3}$,
P(ξ=5)=$\frac{1}{3}×(\frac{1}{2})^{2}+\frac{2}{3}×{C}_{2}^{1}(\frac{1}{2})^{2}$=$\frac{5}{12}$,
P(ξ=6)=$\frac{2}{3}×(\frac{1}{2})^{2}$=$\frac{1}{6}$,
∴随机变量ξ的分布列为:
ξ | 3 | 4 | 5 | 6 |
P | $\frac{1}{12}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{5}{12}$ | $\frac{1}{6}$ |
点评 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量分布列、数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用.
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A. | 单调增函数,且f(x)<0 | B. | 单调减函数,且f(x)<0 | ||
C. | 单调增函数,且f(x)>0 | D. | 单调增函数,且f(x)>0 |
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A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
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