Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x）=f（2-x），若f（

1

2

）=1，sinα=

1

4

，则f（4cos2α）=

 

．

Answer 1

分析：根据三角函数之间的关系，先求出4cos2α的值，然后根据条件确定函数的周期性，利用函数的周期性和奇偶性即可求值．

解答：解：∵sinα=

1

4

，
∴4cos2α=4（1-2sin²α）=4（1-2×

1

16

）=4-

1

2

=

7

2

，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x）=f（2-x），
∴f（x）=f（2-x）=-f（x-2），
即f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数．
∴f（4cos2α）=f（4-

1

2

）=f（-

1

2

）=-f（

1

2

）=-1．
故答案为：-1．

点评：本题主要考查三角函数的公式以及函数奇偶性的应用，根据条件确定函数的周期性是解决本题的关键．