Question

 12. 如图所示，已知长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，

E是棱CC₁上的点，且BE⊥B₁C.

（1）求CE的长；

（2）求证：A₁C⊥平面BED；

（3）求A₁B与平面BDE所成角的正弦值.

Answer 1

(1) CE=1 (2)证明略（3）A₁B与平面BDE所成角的正弦值为

解析:

（1）  如图所示，以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D—xyz.

∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），

C（0，2，0），A₁（2，0，4），

B₁（2，2，4），C₁（0，2，4），D₁（0，0，4）.

设E点坐标为（0，2，t），则=（-2，0，t），=（-2，0，-4）.

∵BE⊥B₁C，

∴·=4+0-4t=0.∴t=1，故CE=1.

（2）由（1）得，E（0，2，1），=（-2，0，1），

又=（-2，2，-4），=（2，2，0），

∴·=4+0-4=0，

且·=-4+4+0=0.

∴⊥且⊥，即A₁C⊥DB，A₁C⊥BE，

又∵DB∩BE=B，∴A₁C⊥平面BDE.

即A₁C⊥平面BED.

（3）  由（2）知=（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量.又=（0，2，-4）,

∴cos〈,〉==.

∴A₁B与平面BDE所成角的正弦值为.