Question

14．（1）已知关于方程x²+2（m-1）x-2m=0的两根都在[-2，2）内．则实数m的取值范围是什么？
（2）关于x的方程2kx²-2x-3k-2=0的两实根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是什么？
（3）方程x²-（a+4）x-2a²+5a+3=0的两根都在区间[-1，3]上，求实数m的取值范围．
（4）方程x²-2ax+4=0的两根均大于1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 构造函数，结合函数的图象，建立不等式，即可得出结论．

解答 解：（1）设f（x）=x²+2（m-1）x-2m，则$\left\{\begin{array}{l}{△=4（m-1）^{2}+8m≥0}\\{-2≤1-m＜2}\\{4-4（m-1）-2m≥0}\\{4+4（m-1）-2m＞0}\end{array}\right.$，∴0$＜m≤\frac{4}{3}$；
（2）因为方程有两实根，所以二次项系数不为0，则k≠0．
又因为方程2kx²-2x-3k-2=0的两实根，一个小于1，另一个大于1，则存在两种情况：
情况1：当k＞0时，：函数f（x）=2kx²-2x-3k-2 图象开口向上，此时只需f（1）＜0 即可．
即 2k-2-3k-2＜0 解得 k＞-4．结合前提条件有k＞0．
情况2：当k＜0时，函数2kx²-2x-3k-2 图象开口向下，此时只需f（1）＞0，即可
即 2k-2-3k-2＞0 解得 k＜-4．结合前提条件有k＜-4．
综上，满足题意的 k的取值范围是k＜-4 或 k＞0．
（3）令g（x）=x²-（a+4）x-2a²+5a+3，由x²-（a+4）x-2a²+5a+3=0的两根都在区间[-1，3]，
可得$\left\{\begin{array}{l}{（a+4）^{2}+8{a}^{2}-20a-12≥0}\\{-1≤\frac{1}{2}（a+4）≤3}\\{1+a+4-2{a}^{2}+5a+3≥0}\\{9-3（a+4）-2{a}^{2}+5a+3≥0}\end{array}\right.$，由此求得0≤a≤1；
（4）要使两根均大于1，必须$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}-16≥0}\\{1-2a+4＞0}\\{a＞1}\end{array}\right.$，解得2≤a＜$\frac{5}{2}$．

点评 此题主要考查的是方程根的分布问题，对于此类题目可以转化为求抛物线零点分布的问题，利用函数思想解答，对学生做题的灵活性要求较高．