Question

已知数列的前项和和通项满足（，是大于0的常数，且），数列是公比不为的等比数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求出所有可能的实数的值，若不存在说明理由；
（3）数列是否能为等比数列？若能，请给出一个符合的条件的和的组合，若不能，请说明理由.

Answer 1

（1）,（2）λ= 2或λ= 3,（3）不可能为等比数列.

试题分析：（1）求一般数列通项，常利用和项与通项关系，即当时, ,整理得，又由，得，
结合q>0知，数列是首项为q公比为的等比数列， ∴ （2）存在性问题，一般从假设存在出发，探求等量关系，将是否存在转化为是否有解. 结合（1）知，当q=2时，,所以,假设存在实数，使数列是等比数列，则对任意n≥2有(c_n＋1＋λc_n)²＝(c_n＋2＋λc_n＋1)(c_n＋λc_{n 1})，将c_n＝2ⁿ＋3ⁿ代入上式，整理得(2＋λ)(3＋λ)·2ⁿ·3ⁿ＝0，解得λ= 2或λ= 3.（3）首先利用特殊值探讨，得出结论是数列不可能为等比数列.说明也可根据特例. 由题意得c₁c₃ c₂²＝b₁q(p²＋q² 2pq)，由于p≠q时，p²＋q²＞2pq，又q及等比数列的首项b₁均不为零，所以 c₁c₃ c₂²≠0，即 c₂²≠c₁·c₃. 故｛c_n｝不是等比数列.
解：（1）当时,
,整理得                    2分
又由，得                3分
结合q>0知，数列是首项为q公比为的等比数列， ∴      5分
（2）结合（1）知，当q=2时，,所以                     6分
假设存在实数，使数列是等比数列，则对任意n≥2有
(c_n＋1＋λc_n)²＝(c_n＋2＋λc_n＋1)(c_n＋λc_{n 1})，将c_n＝2ⁿ＋3ⁿ代入上式，得：
[2^n＋1＋3^n＋1＋λ(2ⁿ＋3ⁿ)]²＝[2^n＋2＋3^n＋2＋λ(2^n＋1＋3^n＋1)]·[2ⁿ＋3ⁿ＋λ(2^{n 1}＋3^{n 1})]，
即    [(2＋λ)2ⁿ＋(3＋λ)3ⁿ]²＝[(2＋λ)2^n＋1＋(3＋λ)3^n＋1][(2＋λ)2^{n 1}＋(3＋λ)3^{n 1}］，
整理得(2＋λ)(3＋λ)·2ⁿ·3ⁿ＝0，解得λ= 2或λ= 3.            10分
故存在实数实数＝ 2或 3，使数列是等比数列.           11分
（3）数列不可能为等比数列.                   12分
理由如下：
设等比数列｛bn｝的公比为p，则由题设知p≠q，则c_n=qⁿ＋b₁p^{n 1}
为要证｛c_n｝不是等比数列只需证c₂²≠c₁·c₃.
事实上，
c₂²＝（q²＋b₁p）²＝q⁴＋2q²b₁p＋b₁²p²，           ①
c₁·c₃＝(q＋b₁)(q³＋b₁p²)＝q⁴＋b₁²p²＋b₁q(p²＋q²），     ②
②-①得
c₁c₃ c₂²＝b₁q(p²＋q² 2pq)
由于p≠q时，p²＋q²＞2pq，又q及等比数列的首项b₁均不为零，
所以 c₁c₃ c₂²≠0，即 c₂²≠c₁·c₃. 故｛c_n｝不是等比数列.             16分