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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,
(1)若a>b>c且f(1)=0,证明:f(x)的图象与x轴有两个相异交点;
(2)若x1,x2,且x1<x2,f(x1)≠f(x2),证明:方程数学公式必有一实根在区间 (x1,x2) 内;
(3)在(1)的条件下,设两交点为A、B,求线段AB长的取值范围.

解:(1)证明:由a>b>c可得a>0,c<0由f(1)=0可得a+b+c=0
∵△=b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2>0
∴f(x)的图象与x轴有两个相异交点
(2)令g(x)=f(x)-
则g(x1)=f(x1)-
=
g(x2)=f(x2)-
=-
又g(x)的图象是连续的
∴方程f(x)=
即g(x)=0必有一实根在区间(x1,x2)内.
(3)设f(x)=0两根为x1,x2
∵a>b>c,b=-a-c
∴a>-a-c>c又a>0
<-1-<1
∴-2<<-
又AB=|x1-x2|=
==1-
<AB<3
∴AB长的取值范围为(,3)
分析:(1)要证明f(x)的图象与x轴有两个相异交点,只要△=b2-4ac=(a+c)2-4ac>0即可
(2)令g(x)=f(x)-,则由g(x1)=f(x1)-=,g(x2)=f(x2)-=-及g(x)的图象是连续可证
(3)结合方程的根与系数关系可得AB=|x1-x2|===1-结合已知可求
点评:本题主要考查了二次函数的性质的应用,函数与方程的相互转化,直线与曲线相交的弦长公式的应用,解题的关键是灵活应用二次函数的性质
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(1)求a的值;
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