Question

已知命题P₁：函数y=(

3

2

)x-3+2a有负零点；命题P2：f(x)=

4+ax

a-1

(a≠1)在区间[-3，-1]是增函数．若P₁，P₂都是真命题，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：命题P₁考查函数有零点问题，可转化成求函数的值域问题；
命题P₂中是已知单调性求参数范围问题，要考虑a-1的正负和4+ax的单调性，还要注意到4+ax≥0恒成立．

解答：解：命题P_1：函数y=(

3

2

)x -3+2a有负零点，即关于x的方程(

3

2

)x=3-2a有负数根，
则0＜3-2a＜1，1＜a＜

3

2

；
命题P₂：令g（x）=4+ax，则g（x）=4+ax≥0在区间[-3，-1]上恒成立，
∴a≤-

4

x

在区间[-3，-1]上恒成立，只要a≤-

4

x

在区间[-3，-1]上的最小值，即a≤

4

3

．
∵a≠1∴1＜a≤

4

3

时，g（x）=4+ax在区间[-3，-1]上增，且a-1＞0，所以f（x）在区间[-3，-1]是增函数，
0＜a＜1时，g（x）=4+ax在区间[-3，-1]上增，且a-1＜0，所以f（x）在区间[-3，-1]是减函数，
a＜0时，g（x）=4+ax在区间[-3，-1]上减，且a-1＜0，所以f（x）在区间[-3，-1]是增函数，
综上所述：命题P₂为真命题时，a的范围是1＜a≤

4

3

或a＜0，
若P₁，P₂都是真命题，则实数a的取值范围是1＜a≤

4

3

故答案为：1＜a≤

4

3

点评：本题考查函数的零点问题和复合函数的单调性问题，函数的零点?对应方程的根．