在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=AA₁=4，点D是AA₁的中点，则点A₁到平面DBC₁的距离是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：以AC为y轴，以AA₁为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=AA₁=4，点D是AA₁的中点，知 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（0，4，2）， $\text{[math]}$ ，设平面BDC₁的法向量为 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，由此能求出点A₁到平面DBC₁的距离．
解答：

解：以AC为y轴，以AA₁为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=AA₁=4，点D是AA₁的中点，
∴B（2 $\text{[math]}$ ，2，0），C₁（0，4，4），D（0，0，2），A₁（0，0，4），
∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（0，4，2）， $\text{[math]}$ ，
设平面BDC₁的法向量为 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴点A₁到平面DBC₁的距离d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故选A．
点评：本题考查空间中点、线、面间距离的计算，解题时要认真审题，合理地运用向量法进行求解，向量法求点到面的距离是向量的一个重要运用．

练习册系列答案

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（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
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．
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（2）问：在侧棱CC₁上是否存在点N，使得异面直线AB₁与MN所成角为45°？若存在，请说明点N的位置；若不存在，请说明理由；
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