Question

设命题p：函数f（x）=2^|x-a|在区间（1，+∞）上单调递增；命题q：a∈{y|y=

16-4x

，x∈R}，如果“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据复合函数单调性确定函数f（x）=2^|x-a|在区间（1，+∞）上单调递增的实数a的取值范围，求出其补集；再结合命题q为真时，求出a的范围，最后结合复合命题的真假分情况讨论后即可得到结论．

解答：解：∵函数f（x）=2^|x-a|的外函数y=2^u在其定义域R上为增函数
若函数f（x）=2^|x-a|在区间（1，+∞）上单调递增
则内函数u=|x-a|在区间（1，+∞）也要为增函数
又∵u=|x-a|在区间[a，+∞）为增函数
∴（1，+∞）?[a，+∞）
即a≤1；
故若p为假命题时，a＞1；
命题q：a∈{y|y=

16-4x

，x∈R}，4^x＞0⇒16-4^x＜16⇒y=

16-4x

∈[0，4）．
∴a∈[0，4）．
q假时，a∈（-∞，0）∪[4，+∞）．
∵“p且q”是假命题，“p或q”是真命题
∴①p真q假，②p假q真；
当p真q假时⇒

a≤1 a≥4或a＜0

⇒a＜0；
当p假q真时，

a＞1 0≤a＜4

⇒1＜a≤4．
综上：实数a的取值范围为：（-∞，0）∪（1，4]．

点评：本题主要考查复合命题的真假以及复合函数的单调性的判定和指数函数值域的相关知识的综合运用，关键是把两个命题等价转化．