Question

水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为V(t)=

(-t2+14t-40)e 1 4 x+50 0＜t≤10 4(t-10)(3t-41)+50 10＜t≤12

（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期．以i-1＜t＜i表示第i月份（i=1，2，…，12），同一年内哪几个月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）．

Answer 1

分析：（1）分段求出水库的蓄求量小于50时x的取值范围，注意实际问题x要取整．
（2）一年内该水库的最大蓄水量肯定不在枯水期，则V（t）的最大值只能在（4，10）内达到，然后通过导数在给定区间上研究V（t）的最大值，最后注意作答．

解答：解：（Ⅰ）①当0＜t≤10时，V(t)=(-t2+14t-40)e

1

4

x+50＜50，化简得t²-14t+40＞0，
解得t＜4，或t＞10，又0＜t≤10，故0＜t＜4．
②当10＜t≤12时，V（t）=4（t-10）（3t-41）+50＜50，化简得（t-10）（3t-41）＜0，
解得10＜t＜

41

3

，又10＜t≤12，故10＜t≤12．
综合得0＜t＜4，或10＜t≤12；
故知枯水期为1月，2月，3月，4，11月，12月共6个月．
（Ⅱ）（Ⅰ）知：V（t）的最大值只能在（4，10）内达到．
由V′（t）=e

1

4

t(-

1

4

t2+

3

2

t+4)=-

1

4

e

1

4

t(t+2)(t-8)，
令V′（t）=0，解得t=8（t=-2舍去）．
当t变化时，V′（t）与V（t）的变化情况如下表：

由上表，V（t）在t=8时取得最大值V（8）=8e²+50=108.32（亿立方米）．
故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米

点评：本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力．