Question

20．已知函数f（x）=x|x-2|+bx（b∈R）．
（1）当b=0时，解方程f（x）=1；
（2）若f（x）在R上的增函数，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当b=0时，f（x）=x|x-2|=1，从而解方程即可；
（2）化简f（x）=x|x-2|+bx=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（b-2）x，x≥2}\\{-{x}^{2}+（2+b）x，x＜2}\end{array}\right.$，从而由二次函数的性质可知-$\frac{b-2}{2}$≤2且$\frac{b+2}{2}$≥2，从而解得．

解答 解：（1）当b=0时，f（x）=x|x-2|=1，
解得，x=1或x=$1+\sqrt{2}$；
（2）f（x）=x|x-2|+bx=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（b-2）x，x≥2}\\{-{x}^{2}+（2+b）x，x＜2}\end{array}\right.$，
由二次函数的性质可知，
若f（x）在R上的增函数，
则-$\frac{b-2}{2}$≤2且$\frac{b+2}{2}$≥2，
解得，b≥2．

点评 本题考查了分段函数的应用及二次函数的性质的应用．