Question

设x、y均为正实数，且

3

2+x

+

3

2+y

=1，以点（x，y）为圆心，R=xy为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为

（x-4）²+（y-4）²=256

．

Answer 1

分析：由已知的关于x与y的等式，用y表示出x，将表示出的x代入xy中，设z=y-1，用z表示出y，代入表示出的xy中，整理后利用基本不等式得到xy的最小值，以及此时z的值，进而确定出此时x与y的值，确定出所求圆的圆心与半径，写出所求圆的标准方程即可．

解答：解：∵

3

2+x

+

3

2+y

=1，
∴x=

8+y

y-1

，令z=y-1，则y=z+1，
∴xy=

y2+8y

y-1

=

(z+1)2+8(z+1)

z

=

z2+10z+9

z

=z+

9

z

+10≥6+10=16，
当且仅当z=

9

z

，即z=3时取等号，
此时y=4，x=4，半径xy=16，
则此时所求圆的方程为（x-4）²+（y-4）²=256．
故答案为：（x-4）²+（y-4）²=256

点评：此题考查了圆的标准方程，以及基本不等式的运用，利用了换元的数学思想，求出圆心坐标与半径是解本题的关键．