Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处的导数值都为0．求函数f（x）的解析式，并求其在区间[-1，1]上的最大、最小值．

Answer 1

分析：求出原函数的导函数，由函数f（x）在x=±1处的导数值都为0列式求出a，b的值，则函数解析式可求．再由导函数得到f（x）在[-1，1]上单调减，由此可求函数的最值．

解答：解：由f（x）=ax³+bx²-3x，得f'（x）=3ax²+2bx-3，
∵f'（1）=f'（-1）=0，即

3a+2b-3=0 3a-2b-3=0

，
解得：a=1，b=0，
∴f（x）=x³-3x，
∴f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
当x∈[-1，1]时，f'（x）≤0，
∴f（x）在[-1，1]上单调减，
∴y_max=f（-1）=2，y_min=f（1）=-2．

点评：本题考查了利用导数求闭区间上的最值，训练了利用导函数求解原函数的单调区间，是中档题．