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如图,双曲线-=1(a,b>0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D.则:
(Ⅰ)双曲线的离心率e=   
(Ⅱ)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=   
【答案】分析:(Ⅰ)直线B2F1的方程为bx-cy+bc=0,所以O到直线的距离为,根据以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,可得,由此可求双曲线的离心率;
(Ⅱ)菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc,求出矩形ABCD的长与宽,从而求出面积S2=4mn=,由此可得结论.
解答:解:(Ⅰ)直线B2F1的方程为bx-cy+bc=0,所以O到直线的距离为
∵以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2

∴(c2-a2)c2=(2c2-a2)a2
∴c4-3a2c2+a4=0
∴e4-3e2+1=0
∵e>1
∴e=
(Ⅱ)菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc
设矩形ABCD,BC=2m,BA=2n,∴
∵m2+n2=a2,∴
∴面积S2=4mn=
==
∵bc=a2=c2-b2

=
故答案为:
点评:本题考查圆与圆锥曲线的综合,考查双曲线的性质,面积的计算,解题的关键是确定几何量之间的关系.
练习册系列答案
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(22)如图,双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,F1、F2分别为左、右焦点,

M为左准线与渐近线在第二象限内的交点,且.

 (Ⅰ)求双曲线的方程;

(Ⅱ)设A(m,0)和B(,0)(0<m<1)是x轴上的两点.过点A作斜率不为0的直线l,使得l交双曲线于C、D两点,作直线BC交双曲线于另一点E.证明直线DE垂直于x轴.

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如图,双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为、F2分别为左、右焦点,M为左准线与渐近线在第二象限内的交点,且
(I)求双曲线的方程;
(II)设A(m,0)和(0<m<1)是x轴上的两点.过点A作斜率不为0的直线l,使得l交双曲线于C、D两点,作直线BC交双曲线于另一点E.证明直线DE垂直于x轴.中心O为圆心,分别以a和b为半径作大圆和.

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如图,双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为、F2分别为左、右焦点,M为左准线与渐近线在第二象限内的交点,且
(I)求双曲线的方程;
(II)设A(m,0)和(0<m<1)是x轴上的两点.过点A作斜率不为0的直线l,使得l交双曲线于C、D两点,作直线BC交双曲线于另一点E.证明直线DE垂直于x轴.中心O为圆心,分别以a和b为半径作大圆和.

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如图,双曲线-=1(a,b>0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D.则:
(Ⅰ)双曲线的离心率e=   
(Ⅱ)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=   

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