Question

（2012•石家庄一模）在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（-2，0）、B（2，0），M是动点，且直线MA与直线MB的斜率之积为-

1

4

，设动点M的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II ）过定点T（-1，0）的动直线l与曲线C交于P，Q两点，是否存在定点S（s，0），使得

SP

•

SQ

为定值，若存在求出s的值；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据定点A（-2，0）、B（2，0），直线MA与直线MB的斜率之积为-

1

4

，建立方程，化简可得曲线C的方程；
（II ）当动直线l的斜率存在时，设动直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0）与椭圆方程联立，用坐标表示出

SP

•

SQ

=

(s2-4)(1+ 4s2+8s+1 s2-4 ×k2)

1+4k2

，要使存在定点S（s，0），使得

SP

•

SQ

为定值，则使

4s2+8s+1

s2-4

=4即可，再验证斜率不存在情况也成立．

解答：解：（I）设M点坐标为（x，y）
∵定点A（-2，0）、B（2，0），直线MA与直线MB的斜率之积为-

1

4

，
∴

y

x+2

×

y

x-2

=-

1

4

∴

x2

4

+y2=1(x≠±2)
∴曲线C的方程为

x2

4

+y2=1(x≠±2)；
（II ）当动直线l的斜率存在时，设动直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0）
由

y=k(x+1) x2 4 +y2=1

，可得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∴

x1+x2=- 8k2 1+4k2 x1x2= 4k2-4 1+4k2

∵

SP

=(x1-s，y1)，

SQ

=(x2-s，y2)
∴

SP

•

SQ

=

(s2-4)(1+ 4s2+8s+1 s2-4 ×k2)

1+4k2

若存在定点S（s，0），使得

SP

•

SQ

为定值，则

4s2+8s+1

s2-4

=4
∴s=-

17

8

，此时定值为

33

64

当动直线l的斜率不存在时，P（-1，

3

2

），Q（-1，-

3

2

），可知s=-

17

8

时，

SP

•

SQ

=

33

64

综上知，存在定点S（-

17

8

，0），使得

SP

•

SQ

为定值．

点评：本题考查轨迹方程的求解，考查存在性问题的探究，解题的关键是用坐标表示出

SP

•

SQ

，进而确定定值．