Question

【题目】在正三棱锥P﹣ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．
（1）求证：PA⊥BC；
（2）求此三棱锥的全面积和体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取BC的中点M，连AM、BM．

∵△ABC是等边三角形，

∴AM⊥BC．

又∵PB=PC，

∴PM⊥BC．

∵AM∩PM=M，

∴BC⊥平面PAM，

则PA⊥BC

（2）解：记O是等边三角形的中心，则PO⊥平面ABC．

∵△ABC是边长为6的等边三角形，

∴ ．

∴ ， ，

∵ ，

∴ ；

．

【解析】（1）取BC的中点M，连AM、BM．由△ABC是等边三角形，可得AM⊥BC．再由PB=PC，得PM⊥BC．利用线面垂直的判定可得BC⊥平面PAM，进一步得到PA⊥BC；（2）记O是等边三角形的中心，则PO⊥平面ABC．由已知求出高，可求三棱锥的体积．求出各面的面积可得三棱锥的全面积．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的性质的相关知识，掌握垂直于同一个平面的两条直线平行．