Question

11．已知向量$\overrightarrow{m}$=（a，x+f（x）），$\overrightarrow{n}$=（1，ln（1+e^x）-x），（a∈R），$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若△ABC的三个顶点在函数y=f（x）的图象上，从左到右点A，B，C的横坐标依次是x₁，x₂，x₃，且x₁，x₂，x₃成等差数列，当a＞0时，△ABC能否构成等腰三角形？若能，求出△ABC的面积的最大值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用向量共线，求出函数的解析式，然后利用函数的导数求解单调区间．
（2）由（1）可知，a＞0时，f（x）在区间（-∞，+∞）上是减函数，利用反证法说明A、B、C三点不共线，说明B是钝角，假设三角形是等腰三角形，推出${e}^{{x}_{1}}={e}^{{x}_{3}}$，与x₁＜x₃矛盾，说明△ABC不可能为等腰三角形．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{m}$=（a，x+f（x）），$\overrightarrow{n}$=（1，ln（1+e^x）-x），（a∈R），$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
可得x+f（x）=aln（1+e^x）-ax，
即f（x）=aln（1+e^x）-ax-x，
当a=0时，f（x）=-x，函数是减函数，函数的单调减区间为R．
f′（x）=$\frac{{ae}^{x}}{1+{e}^{x}}$-a-1=$\frac{-a}{1+{e}^{x}}$-1．
∵1+e^x＞2，
∴当a＞-2时，f′（x）＜0，函数是减函数，单调减区间是R．
当a＜-2时，$\frac{-a}{1+{e}^{x}}$-1=0，可得-a=1+e^x，解得x=ln（-1-a）．
当x＞ln（-1-a）时，f′（x）＞0，函数是增函数，单调增区间是（ln（-1-a），+∞），
当x＜ln（-1-a）时，f′（x）＜0，函数是减函数，单调减区间是（-∞，ln（-1-a））；
（2）由（1）可知，a＞0时，f（x）在区间（-∞，+∞）上是减函数，
∵A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），∴不妨设x₁＜x₂＜x₃，可得f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），${x}_{2}=\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$，
下面利用反证法说明A、B、C三点不共线，若三点共线，则有：f（x₂）=$\frac{1}{2}$（f（x₁）+f（x₃）），所以$2{e}^{{x}_{2}}={e}^{{x}_{1}}+{e}^{{x}_{3}}≥2\sqrt{{e}^{{x}_{1}}•{e}^{{x}_{3}}}$，得x₁=x₃与x₁＜x₂＜x₃，矛盾，
接下来说明B是钝角：$\overrightarrow{BA}$=（x₁-x₂，f（x₁）-f（x₂）），$\overrightarrow{BC}$=（x₃-x₂，f（x₃）-f（x₂）），∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=（x₁-x₂）（x₃-x₂）+（f（x₁）-f（x₂））（f（x₃）-f（x₂））∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0，∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}＜0$．可得B∈$（\frac{π}{2}，π）$
，即△ABC中B为钝角；
假设三角形是等腰三角形，只能是$\left|\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|$，即$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+[f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）]^{2}$=$（{x}_{3}-{x}_{2}）^{2}+[f（{x}_{3}）-f（{x}_{2}）]^{2}$，
∵x₃-x₂=x₂-x₁，∴${[f（{x}_{3}）-f（{x}_{2}）]}^{2}={[f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）]}^{2}$，结合f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），化简可得；2f（x₂）=f（x₁）+f（x₃），也就是：2aln（1+${e}^{{x}_{2}}$）-2（a+1）x₂=aln（1+${e}^{{x}_{1}}$）（1+${e}^{{x}_{3}}$）-（a+1）（x₁+x₃），将${x}_{2}=\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$代入可得，2aln（1+${e}^{{x}_{2}}$）-2（a+1）x₂=aln（1+${e}^{{x}_{1}}$）（1+${e}^{{x}_{3}}$）-2（a+1）x₂，
∴2ln（1+${e}^{{x}_{2}}$）=ln（1+${e}^{{x}_{1}}$）（1+${e}^{{x}_{3}}$）
可得（1+${e}^{{x}_{2}}$）²=（1+${e}^{{x}_{1}}$）（1+${e}^{{x}_{3}}$），化简可得：${e}^{2{x}_{2}}+2{e}^{{x}_{2}}={e}^{{x}_{1}+{x}_{3}}+{e}^{{x}_{1}}+{e}^{{x}_{3}}$即${e}^{2{x}_{2}}={e}^{{x}_{1}}+{e}^{{x}_{3}}①$而事实上，若①成立，根据${e}^{{x}_{1}}+{e}^{{x}_{3}}≥2\sqrt{{e}^{{x}_{1}}•{e}^{{x}_{3}}}$=$2{e}^{{x}_{2}}$，必然得到${e}^{{x}_{1}}={e}^{{x}_{3}}$，与x₁＜x₃矛盾，所以△ABC不可能为等腰三角形．

点评 本题考查函数的单调性的应用，反证法的应用，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用．