分析 (Ⅰ)求出函数的导数,计算f(1),f′(1),代入切线方程即可;
(Ⅱ)令g(x)=ax-(a+1)lnx-$\frac{1}{x}$-1,求出g(x)的导数,根据a,x的范围,判断函数的单调性,求出g(x)的最大值,从而比较大小即可.
解答 解:(Ⅰ)a=1时,f(x)=x-2lnx,
f′(x)=1-$\frac{2}{x}$,∴f′(1)=-1,
而f(1)=1,
故切线方程是:y-1=-(x-1),
即x+y-2=0;
(Ⅱ)令g(x)=ax-(a+1)lnx-$\frac{1}{x}$-1,
g′(x)=$\frac{{ax}^{2}-(a-1)x+1}{{x}^{2}}$,
∵a∈(0,1),x∈[1,e],
∴ax2>0,a-1<0,(a-1)x<0,
∴ax2-(a-1)x+1>0,
∴g′(x)>0,
g(x)在[1,e]递增,
∴g(x)max=g(e)=a(e-1)-2-$\frac{1}{e}$<e-3-$\frac{1}{e}$<0,
∴a∈(0,1),x∈[1,e]时,f(x)<$\frac{1}{x}$+1.
点评 本题考查了曲线的切线方程问题,考查函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,是一道中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 30° | B. | 45° | C. | 60° | D. | 90° |
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科目:高中数学 来源:2015-2016学年江苏泰兴中学高二上学期期末数学(文)试卷(解析版) 题型:填空题
下列四个命题:①一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真;②命题“设,若,则或”是一个假命题;③“”是“”的充分不必要条件;④一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真.其中不正确的命题是 .(写出所有不正确命题的序号)
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\sqrt{2}$-1 | C. | $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$ | D. | $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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