Question

已知cosα=-

12

13

，cos(α+β)=

17 2

26

，且α∈(π，

3π

2

)，α+β∈(

3π

2

，2π)，求β．

Answer 1

分析：由α及α+β的范围，由cosα及cos（α+β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα及sin（α+β）的值，再根据β=（α+β）-α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入求出cos[（α+β）-α]的值，即为cosβ的值，根据α及α+β的范围求出β的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出β的度数．

解答：解：∵α∈(π，

3π

2

)，α+β∈(

3π

2

，2π)，
∴sinα＜0，sin（α+β）＜0，
又cosα=-

12

13

，cos(α+β)=

17 2

26

，
∴sinα=-

1-cos2α

=-

5

13

，sin（α+β）=-

1- cos2(α+β)

=-

7 2

26

，
则cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=

17 2

26

×（-

12

13

）+（-

7 2

26

）×（-

5

13

）=-

2

2

，
又-α∈(-

3π

2

，- π)，α+β∈(

3π

2

，2π)，
∴β∈（0，π），
则β=

3π

4

．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式，灵活变换角度是解本题的关键，同时注意角度的范围．