Question

12．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且5sinC=3sinB，tanA=-$\sqrt{3}$
（1）求$\frac{3sinA}{2sinB+4sinC}$的值；
（2）若△ABC外接圆的面积为196π，求a，b，c的值以及△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）先求出A大小，再根据三角函数的关系以及5sinC=3sinB，得到sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{13}$cosC，求出sinC，sinB，问题得以解决；
（2）由正弦定理和三角形的面积公式即可求出．

解答 解：（1）∵tanA=-$\sqrt{3}$，0＜A＜π，
∴A=$\frac{2π}{3}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵5sinC=3sinB=3sin（π-A-C）=3sin（$\frac{π}{3}$-C）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$cosC-$\frac{3}{2}$sinC，
∴sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{13}$cosC，
∵sin²C+cos²C=1，
∴sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，或sinC=-$\frac{3\sqrt{3}}{14}$（舍去），
∵5sinC=3sinB，
∴sinB=$\frac{5}{3}$sinC=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴$\frac{3sinA}{2sinB+4sinC}$=$\frac{3×\frac{\sqrt{3}}{3}}{2×\frac{5\sqrt{3}}{14}+4×\frac{3\sqrt{3}}{14}}$=$\frac{7}{11}$．
（2）△ABC外接圆的面积为196π，设外接圆的半径为R，
则πR²=196π，
∴R=14，
由正弦定理，可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R=28，
∴a=28×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=14$\sqrt{3}$，b=28×$\frac{5\sqrt{3}}{14}$=10$\sqrt{3}$，c=28×$\frac{3\sqrt{3}}{14}$=6$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×10$\sqrt{3}$×6$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=45$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．