【题目】在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ-2sinθ.
(Ⅰ)求C的参数方程;
(Ⅱ)若点A在圆C上,点B(3,0),求AB中点P到原点O的距离平方的最大值.
【答案】(Ⅰ) (α为参数)(Ⅱ) .
【解析】试题分析:(Ⅰ) 已知极坐标方程两边同乘,利用,化简方程得直角坐标方程,从而可求的参数方程;(Ⅱ) 利用参数方程,设出中点坐标,将中点到原点的距离平方用三角函数表示,根据辅助角公式化简,利用三角函数的有界性,可求中点到原点的距离平方的最大值.
试题解析:(Ⅰ)由ρ=4cos θ-2sin θ得ρ2=4ρcos θ-2ρsin θ,
x2+y2=4x-2y,∴(x-2)2+(y+1)2=5,
化为参数方程是 (α为参数).
(Ⅱ)设点P(x,y),A(x0,y0).
因为点B(3,0),且AB中点为P,
所以
又点A在圆C上,
所以x0=2+cos α,y0=-1+sin α,
∴x2+y2=+=+==≤ (其中tanφ=5),
∴AB中点P到原点O的距离平方的最大值为.
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【题目】若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数y=f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称(P,Q)是函数y=f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P,Q)与(Q,P)看作同一个“伙伴点组”).已知函数f(x)=有两个“伙伴点组”,则实数k的取值范围是( )
A. (-∞,0) B. (0,1)
C. D. (0,+∞)
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【题目】某销售公司为了解员工的月工资水平,从1000位员工中随机抽取100位员工进行调查,得到如下的频率分布直方图:
(1)试由此图估计该公司员工的月平均工资;
(2)该公司工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的,一般认为,工资低于4500。元的员工属于学徒阶段,没有营销经验,若进行营销将会失败;高于4500元的员工是具备营销成熟员工,基进行营销将会成功。现将该样本按照“学徒阶段工资”、“成熟员工工资”分成两层,进行分层抽样,从中抽出5人,在这5人中任选2人进行营销活动。活动中,每位员工若营销成功,将为公司赢得3万元,否则公司将损失1万元。试问在此次比赛中公司收入多少万元的可能性最大?
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【题目】设函数f(x)=|x-1|+|x-a|,a∈R.
(Ⅰ)当a=4时,求不等式f(x)≥7的解集;
(Ⅱ)若f(x)≥5对x∈R恒成立,求a的取值范围.
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【题目】(本小题共12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.
(1)求证:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若二面角M-BQ-C为30°,设PM=tMC,试确定t的值.
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【题目】已知四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,ABCD是正方形,E是PA的中点.
(Ⅰ)求证:PC∥平面EBD;
(Ⅱ)求证:平面PBC⊥平面PCD.
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【题目】随着国家二孩政策的全面放开,为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿,某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女,结果如下表.
非一线 | 一线 | 总计 | |
愿生 | 45 | 20 | 65 |
不愿生 | 13 | 22 | 35 |
总计 | 58 | 42 | 100 |
由K2=,得K2=.
参照下表,
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
正确的结论是( )
A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”
B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别无关”
C. 有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D. 有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
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【题目】某省高考改革实施方案指出:该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语3门统一高考成绩和学生自主选择的学业水平等级性考试科目共同构成.该省教育厅为了解正就读高中的学生家长对高考改革方案所持的赞成态度,随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进行调查,调查结果显示样本中有25人持不赞成意见.下面是根据样本的调查结果绘制的等高条形图.
(1)根据已知条件与等高条形图完成下面的2×2列联表,并判断我们能否有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”?
赞成 | 不赞成 | 合计 | |||||
城镇居民 | |||||||
农村居民 | |||||||
合计 | |||||||
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.005 | ||||
k0 | 2.706 | 3.841 | 7.879 | ||||
注: 其中
(2)用样本的频率估计概率,若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取3个,记这3个家长中是城镇户口的人数为x,试求x的分布列及数学期望E(x).
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