Question

1．已知sinα=$\frac{13}{14}$，sin（α-β）=$\frac{1}{7}$，0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，求：
（1）sin（2α-β）的值；
 （2）β的值．

Answer 1

分析 （1）由角的范围和同角三角函数基本关系可得cosα和cos（α-β）的值，代入sin（2α-β）=sin[α+（α-β）]=sinαcos（α-β）+cosαsin（α-β），计算可得
（2）代入cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β），计算结合0＜β＜$\frac{π}{2}$可得．

解答 解：（1）∵0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，∴0＜α-β＜$\frac{π}{2}$，
∵sinα=$\frac{13}{14}$，sin（α-β）=$\frac{1}{7}$，
∴cosα=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，cos（α-β）=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴sin（2α-β）=sin[α+（α-β）]
=sinαcos（α-β）+cosαsin（α-β）
=$\frac{13}{14}×\frac{4\sqrt{3}}{7}$+$\frac{3\sqrt{3}}{14}×\frac{1}{7}$=$\frac{55\sqrt{3}}{98}$；
（2）cosβ=cos[α-（α-β）]
=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）
=$\frac{3\sqrt{3}}{14}×\frac{4\sqrt{3}}{7}$+$\frac{13}{14}×\frac{1}{7}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜β＜$\frac{π}{2}$，∴β=$\frac{π}{3}$

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数基本关系和整体思想，属中档题．