Question

【题目】已知双曲线与椭圆有相同的焦点.

求双曲线的方程；

以为中点作双曲线的一条弦，求弦所在直线的方程.

Answer 1

【答案】

【解析】

根据椭圆的方程和题意，得到双曲线的焦点坐标，求出，再由等轴双曲线的性质，以及，即可求出结果；

先讨论所在直线斜率不存在时，根据题意，可直接排除；再讨论所在直线斜率存在时，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理，以及中点坐标公式，即可求出结果.

由已知椭圆

得双曲线的焦点为，即，

由等轴双曲线的性质及，

则

所求双曲线的方程为

当所在直线斜率不存在时，由对称性可知，中点不可为，

故此时不满足题意;

当所在直线斜率存在时，设所在直线的方程为，

联立方程组得

①

点在所在的直线上，即 ②.

联立①②两式，解得，

经检验，直线方程即为所求.