Question

已知命题P：函数f(x)=

x

x2+1

在区间（a，2a+1）上是单调递增函数；命题Q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先求出P，Q为真时，参数的取值范围，再将P∨Q是真命题，转化为P真Q假或P假Q真或P真Q真，即可求得实数a的取值范围．

解答：解：若P是真，求导函数f′（x）=

1-x2

(x2+1)2

，令f′（x）＞0可得-1＜x＜1
∵函数f(x)=

x

x2+1

在区间（a，2a+1）上是单调递增函数
∴

a≥-1 2a+1≤1 a＜2a+1

，∴-1＜a≤0
若Q是真，可得a=2或

a-2＜0 △＜0

得：-2＜a≤2，
∵P∨Q是真命题，∴P真Q假或P假Q真或P真Q真
若P真Q假，则

-1＜a≤0 a≤-2或a＞2

，∴a∈∅；
若P假Q真，则

a≤-1或a＞0 -2＜a≤2

，∴-2＜a≤-1或0＜a≤2
若P真Q真，则

-1＜a≤0 -2＜a≤2

，∴-1＜a≤0
∴由P∨Q是真命题可得a∈（-2，2]．

点评：解决本题的灵魂在于“转化”，将P∨Q是真命题，转化为P真Q假或P假Q真或P真Q真．