【题目】已知函数(a为常数)的图象与
轴交于点
,曲线
在点
处的切线斜率为
(1)求的值及函数
的极值;
(2)证明:当时,
【答案】(1)当x=ln2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln2)=2-ln4,f(x)无极大值.(2)见解析
【解析】试题分析:(1)首先求点的坐标
,再根据
,解得
的值,然后求
的
值,以及两侧的单调性,根据单调性求得函数的极值;(2)设函数
,根据(1)的结果可知函数单调递增,即证
.
试题解析: (1)由f(x)=ex-ax,得f′(x)=ex-a. 又f′(0)=1-a=-1,得a=2.
所以f(x)=ex-2x,f′(x)=ex-2. 令f′(x)=0,得x=ln2.
当x<ln2时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x>ln2时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
所以当x=ln2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值.
(2)令g(x)=ex-x2,则g′(x)=ex-2x. 由(1)得g′(x)=f(x)≥f(ln2)>0,
故g(x)在R上单调递增,又g(0)=1>0,因此,当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x2<ex.
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【题目】选修4﹣1:平面几何
如图AB是⊙O的直径,弦BD,CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.
(1)求证:∠DEA=∠DFA;
(2)若∠EBA=30°,EF= ,EA=2AC,求AF的长.
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【题目】某学校有120名教师,且年龄都在20岁到60岁之间,各年龄段人数按分组,其频率分布直方图如图所示,学校要求每名教师都要参加两项培训,培训结束后进行结业考试.已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表示,假设两项培训是相互独立的,结业考试成绩也互不影响.
年龄分组 | A项培训成绩优秀人数 | B项培训成绩优秀人数 |
[20,30) | 30 | 18 |
[30,40) | 36 | 24 |
[40,50) | 12 | 9 |
[50,60] | 4 | 3 |
(1)若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本,求从年龄段[20,30)抽取的人数;
(2)求全校教师的平均年龄;
(3)随机从年龄段[20,30)和[30,40)内各抽取1人,设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X,求X的概率分布和数学期望.
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【题目】设P(x0,y0)是函数f(x)图象上任意一点,且y02≥x02,则f(x)的解析式可以是_____.(填序号)
①f(x)=x﹣②f(x)=ex﹣1(e≈2.718,是一个重要常数)③f(x)=x+
④y=x2
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【题目】已知函数f(x)=x|2x﹣a|﹣1.
①当a=0时,不等式f(x)+1>0的解集为_____;
②若函数f(x)有三个不同的零点,则实数a的取值范围是_____.
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【题目】下列命题中_________为真命题.
①“A∩B=A”成立的必要条件是“AB”; w ②“若x2+y2=0,则x,y全为0”的否命题;
③“全等三角形是相似三角形”的逆命题; ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题.
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