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10.在△ABC中,O是△ABC的重心,AM是中线.
(1)求证:$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$$+\overrightarrow{OC}$=0;
(2)若P为中线AM上的一个动点,且AM=2,求$\overrightarrow{PA}$($\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$)的最小值.

分析 (1)由条件利用三角形的重心的性值可得$\overrightarrow{OA}$=-2$\overrightarrow{OM}$,且$\overrightarrow{OM}$=$\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}$,由此可证得$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$$+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$.
(2)设AP=x,则PM=2-x,(0≤x≤2),化简要求的式子为2(x-1)2-2,利用二次函数的性质求得它的最小值.

解答 解:(1)证明:△ABC中,O是△ABC的重心,AM是中线,∴AO=2OM,即$\overrightarrow{OA}$=-2$\overrightarrow{OM}$.
又∵$\overrightarrow{OM}$=$\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}$,∴$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OM}$,∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$$+\overrightarrow{OC}$=-2$\overrightarrow{OM}$+2$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{0}$.
(2)若P为中线AM上的一个动点,且AM=2,设AP=x,则PM=2-x,(0≤x≤2),
∵M为线段BC的中点,∴$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PM}$,∴$\overrightarrow{PA}$($\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$)
=2$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PM}$=-2x•(2-x)=2x•(x-2)=2(x-1)2-2,
故当x=2时,$\overrightarrow{PA}$($\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$)取得最小值为-2.

点评 本题考查了三角形的中线,两向量的和的平行四边形法则,均值不等式及不等式的性质,是中档题.

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