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已知正数数列{an}的前n项和Sn,且对任意的正整数n满足2
Sn
=an+1

(1)求数列{an}的通项公式
(2)设bn=
1
anan+1
,数列{bn}的前n项和为Bn,求Bn范围
分析:(1)仿写一个等式,两式相减,得到数列的项的递推关系,据此递推关系,判断出数列是等差数列,利用等差数列的通项公式求出通项.
(2)将数列的通项裂成两项的差,通过叠加相互抵消,求出数列的前n项和,即可得出结论.
解答:解:(1)由2
Sn
=an+1,n=1代入得a1=1,
两边平方得4Sn=(an+1)2(1),
n≥2时,4Sn-1=(an-1+1)2(2),
(1)-(2),得4an=(an+1)2-(an-1+1)2
∴(an-1)2-(an-1+1)2=0(3分)
∴[(an-1)+(an-1+1)]•[(an-1)-(an-1+1)]=0,
由正数数列{an},得an-an-1=2,
∴数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,
∴有an=2n-1;
(2)bn=
1
anan+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
1
2n-1
-
1
2n+1
),
∴Bn=
1
2
1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1
)=
1
2
2n
2n+1
=
n
2n+1
=
1
2
+
-
1
2
2n+1

∵n≥1,
∴2n+1≥3,
1
3
≤Bn
1
2
点评:若知数列的和与项的递推关系求通项,常采用仿写的方法;求数列的前n项和,一般先判断通项的特点,然后采用合适的求和方法.
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已知正数数列{an}中,a1=2.若关于x的方程x2-(
an+1
)x+
2an+1
4
=0(n∈N×))对任意自然数n都有相等的实根.
(1)求a2,a3的值;
(2)求证
1
1+a1
+
1
1+a2
+
1
1+a3
+…+
1
1+an
2
3
(n∈N×).

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10、已知正数数列{an}对任意p,q∈N*,都有ap+q=ap•aq,若a2=4,则a9=
512

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,求an

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已知正数数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn2=a13+a23+…+an3
(Ⅰ)求证:数列{an}为等差数列,并求出通项公式;
(Ⅱ)设bn=(1-
1
an
2-a(1-
1
an
),若bn+1>bn对任意n∈N*恒成立,求实数a的取值范围.

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