Question

设，（a，b为常数）．当x＞0时，F（x）=f（x），且F（x）为R上的奇函数．
（Ⅰ）若，且f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，在[2，4]上是单调函数，求k的取值范围．

Answer 1

解：（1）f（x）=alog₂²x+blog₂x+1
由得a-b+1=0，
∴f（x）=alog₂²x+（a+1）log₂x+1
若a=0则f（x）=log₂x+1无最小值．
∴a≠0．
欲使f（x）取最小值为0，只能使，知a=1，b=2．
∴f（x）=log₂²x+2log₂x+
设x＜0则-x＞0，
∴F（x）=f（-x）=log₂²（-x）+2log₂（-x）+1
又F（-x）=-F（x），
∴F（x）=-log₂²（-x）-2log₂（-x）-1
又F（0）=0∴
（2）=．x∈[2，4]．
得log₂x=t．则，t∈[1，2]．
∴当k≤0，或或时，y为单调函数．
综上，k≤1或k≥4．
分析：（1）根据可消去b，再由f（x）的最小值为0确定f（x）的解析式，最后求出F（x）的解析式．
（2）根据（1）先将g（x）的解析式化简为，再将t=log₂x代入进行换元，可得答案．
点评：主要考查求函数解析式的问题．本题属于较难类型的题．