Question

15、给出下列命题：
①不存在实数a，b使f（x）=lg（x²+ax+b）的定义域、值域均为一切实数；
②函数y=f（x+2）图象与函数y=f（2-x）图象关于直线x=2对称；
③方程ln x+x=4有且只有一个实数根；
④a=-1是方程a²x²+（a+2）y²+2ax+a=0表示圆的充分必要条件
⑤过椭圆右焦点的直线与椭圆交于A，B两点，则以AB为直径的圆与其右准线相离其中真命题的序号是

②、⑤

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析：根据对数函数的值域与定义域，可以判断①的真假；根据函数图象的对称变换法则，我们可以判断②的真假；根据函数零点个数与对应方程根的个数之间的关系，可以判断③的真假；利用圆的方程的特点，我们可以判断④的对错；根据椭圆的几何特征，我们可以判断⑤的真假；进而得到答案．

解答：解：若函数f（x）=lg（x²+ax+b）的定义域为R，则x²+ax+b的最小值A大于0，则函数的值域为[lgA，+∞）≠R，故①为假命题；
函数y=f（x+2）图象与函数y=f（2-x）图象关于直线x=2对称，故②为真命题；
由于函数y=ln x与函数y=-x+4的图象有且只有一个交点，故③方程ln x+x=4有且只有一个实数根为真命题；
a=-1或a=2是方程a²x²+（a+2）y²+2ax+a=0表示圆的充分必要条件，故④为假命题；
过椭圆右焦点的直线与椭圆交于A，B两点，则以AB为直径的圆与其右准线相离，故⑤为真命题；
故答案为：②、⑤

点评：本题考查的知识点是命题真假判断，其中熟练掌握对数函数的性质，函数图象的对称变换法则，函数零点与对应方程根的关系，圆及椭圆的几何特征是解答本题的关键．