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    设函数f（x）=x-（x+1）ln（x+1）（x＞-1）．
    （Ⅰ）求f（x）的单调区间；
    （Ⅱ）证明：当n＞m＞0时，（1+n）m＜（1+m）n；
    （Ⅲ）证明：当n＞2012，且x1，x2，x3，…，xn∈R+，x1+x2+x3+…+xn=1时，
    （1）
    x
    2
    1
    1+x1
    +
    x
    2
    2
    1+x2
    +
    x
    2
    3
    1+x3
    +    …+
    x
    2
    n
    1+xn
    ≥
    1
    1+n

    （2）(
    x
    2
    1
    1+x1
    +
    x
    2
    2
    1+x2
    +
    x
    2
    3
    1+x3
    +    …+
    x
    2
    n
    1+xn
    )
    1
    n
    ＞(
    1
    2013
    )
    1
    2012
    ．
    分析：（Ⅰ）求导数，再利用导数大于0或小于0，求函数的单调区间；
    （Ⅱ）设g（x）=
    ln(1+x)
    x
    ，求导数g'（x）=
    x-(1+x)ln(1+x)
    x2(1+x)
    ，由（Ⅰ）知，x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）单调递减，从而可得
    ln(1+n)
    n
    ＜
    ln(1+m)
    m
    ，由此可得结论；
    （Ⅲ）（1）由x1+x2+x3+…+xn=1，及柯西不等式可得
    x
    2
    1
    1+x1
    +
    x
    2
    2
    1+x2
    +
    x
    2
    3
    1+x3
    +    …+
    x
    2
    n
    1+xn
    ≥
    1
    1+n
    ；（2）由（1）得：(
    x
    2
    1
    1+x1
    +
    x
    2
    2
    1+x2
    +
    x
    2
    3
    1+x3
    +    …+
    x
    2
    n
    1+xn
    )
    1
    n
    ＞(
    1
    2013
    )
    1
    2012
    ≥(
    1
    1+n
    )
    1
    n
    ．又n＞2012，由（Ⅱ）可知（1+n）2012＜（1+2012）n，从而有（
    1
    1+n
    ） 
    1
    n
    ＞（
    1
    2013
    ） 
    1
    2012
    ，结合放缩法即可证得结论．
    解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x-（x+1）ln（x+1），有f'（x）=-ln（x+1），…（2分）
    当-1＜x＜0时，f'（x）＞0时，f（x）单调递增；
    当x＞0时，f'（x）＜0时，f（x）单调递减；
    所以f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为[0，+∞）．…（4分）
    （Ⅱ）设g（x）=
    ln(1+x)
    x
    ，
    则g'（x）=
    x-(1+x)ln(1+x)
    x2(1+x)
    ．…（6分）
    由（Ⅰ）知，x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）单调递减，
    ∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是减函数，
    而n＞m＞0，所以g（n）＜g（m），得
    ln(1+n)
    n
    ＜
    ln(1+m)
    m
    ，
    得mln（1+n）＜nln（1+m），故（1+n）m＜（1+m）n．…（8分）
    （Ⅲ）（1）由x1+x2+x3+…+xn=1，及柯西不等式可知，(
    x
    2
    1
    1+x1
    +
    x
    2
    2
    1+x2
    +
    x
    2
    3
    1+x3
    +    …+
    x
    2
    n
    1+xn
    )(1+n)    =(
    x
    2
    1
    1+x1
    +
    x
    2
    2
    1+x2
    +
    x
    2
    3
    1+x3
    +    …+
    x
    2
    n
    1+xn
    )[(1+x1)+(1+x2)+(1+x3)+    [（1+x1）+…+（1+xn）]×
    1
    1+n

    ≥(
    x
    2
    1
    1+x1
    •
    		1+x1
    +
    x
    2
    2
    1+x2
    •
    		1+x2
    +…+
    x
    2
    n
    1+xn
    •
    		1+xn
    )    ×
    1
    1+n
    =（x1+x2+x3+…+xn）2=
    1
    1+n
    ，
    所以
    x
    2
    1
    1+x1
    +
    x
    2
    2
    1+x2
    +
    x
    2
    3
    1+x3
    +    …+
    x
    2
    n
    1+xn
    ≥
    1
    1+n
    ，…（11分）
    （2）由（1）得：(
    x
    2
    1
    1+x1
    +
    x
    2
    2
    1+x2
    +
    x
    2
    3
    1+x3
    +    …+
    x
    2
    n
    1+xn
    )
    1
    n
    ＞(
    1
    2013
    )
    1
    2012
    ≥(
    1
    1+n
    )
    1
    n
    ．
    又n＞2012，由（Ⅱ）可知（1+n）2012＜（1+2012）n，
    即（1+n） 
    1
    n
    ＜（1+2012） 
    1
    2012
    ，即（
    1
    1+n
    ） 
    1
    n
    ＞（
    1
    2013
    ） 
    1
    2012
    ．
    则(
    x
    2
    1
    1+x1
    +
    x
    2
    2
    1+x2
    +
    x
    2
    3
    1+x3
    +    …+
    x
    2
    n
    1+xn
    )
    1
    n
    ＞(
    1
    2013
    )
    1
    2012
    ≥（
    1
    1+n
    ） 
    1
    n
    ＞（
    1
    2013
    ） 
    1
    2012
    ．
    故(
    x
    2
    1
    1+x1
    +
    x
    2
    2
    1+x2
    +
    x
    2
    3
    1+x3
    +    …+
    x
    2
    n
    1+xn
    )
    1
    n
    ＞(
    1
    2013
    )
    1
    2012
    ＞（
    1
    2013
    ） 
    1
    2012
    ．…（14分）
    点评：本题考查了函数的单调性，考查不等式的证明，考查化归思想，考查构造函数，是一个综合题，题目难度中等，在证明不等式时，注意采用什么形式，选择一种合适的写法．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
    （1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
    		2
    ，求a的值；
    （2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
    （3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
    		2
    2
    ，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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    A、[-5，5]
    B、[-
    		5
    ，
    		5
    ]
    C、[-
    		10
    ，
    		10
    ]
    D、[-
    		5
    2
    ，
    		5
    2
    ]

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•深圳一模）已知函数f(x)=
    1
    3
    x3+bx2+cx+d    ，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
    （1）求f（x）；
    （2）设g(x)=x
    		f′(x)
     ， m＞0    ，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
    （3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）恒成立；当x∈[0，1]时，f（x）=x3-4x+3．有下列命题：
    ①f(-
    3
    4
    ) ＜f(
    15
    2
    )    ；
    ②当x∈[-1，0]时f（x）=x3+4x+3；
    ③f（x）（x≥0）的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列；
    ④关于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7个不同的根．
    其中真命题的个数为（　　）

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    设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
    （1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
    		2
    ，求a的值；
    （2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
    （3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
    		2
    2
    ，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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