Question

已知数列{a_n}中，a₁＝2，a_n－a_n－1－2n＝0(n≥2，n∈N^*)．
(1)写出a₂，a₃的值(只写结果)，并求出数列{a_n}的通项公式；
(2)设b_n＝＋＋＋…＋，若对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t²－2mt＋>b_n恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）a₂＝6，a₃＝12.   a_n＝n(n＋1)．
（2）实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)

解：(1)∵a₁＝2，a_n－a_n－1－2n＝0(n≥2，n∈N^*)，
∴a₂＝6，a₃＝12.
当n≥3时，a_n－a_n－1＝2n，a_n－1－a_n－2＝2(n－1)，
又a₃－a₂＝2×3，a₂－a₁＝2×2，
∴a_n－a₁＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2]，
∴a_n＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1]＝2×＝n(n＋1)．
当n＝1时，a₁＝2；当n＝2时，a₂＝6，也满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n＝n(n＋1)．
(2)b_n＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝－＋－＋…＋－
＝－
＝
＝.
令f(x)＝2x＋ (x≥1)，则f′(x)＝2－，
当x≥1时，f′(x)>0恒成立，
∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
故当x＝1时，f(x)_min＝f(1)＝3，
即当n＝1时，(b_n)_max＝.
要使对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t²－2mt＋>b_n恒成立，则需t²－2mt＋>(b_n)_max＝，
即t²－2mt>0对?m∈[－1,1]恒成立，
∴，解得t>2或t<－2，
∴实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．