Question

在极坐标系中，曲线C₁方程为ρ=2sin（θ+

π

3

），曲线C₂：方程为ρsin（θ+

π

3

）=4．以极点O为原点，极轴方向为x轴正向建立直角坐标系xOy．
（1）求曲线C₁，C₂的直角坐标方程；
（2）设A、B分别是C₁，C₂上的动点，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析：（1）先将曲线C₁及曲线C₂的极坐标方程展开，然后再利用公式

x=ρcosθ y=ρsicθ

，即可把极坐标方程化为普通方程．
（2）可先求出圆心到直线的距离，再减去其半径即为所求的最小值．

解答：解：（Ⅰ）曲线C₁的极坐标方程化为ρ=sinθ+

3

cosθ，
两边同乘以ρ，得ρ²=ρsinθ+

3

ρcosθ，
则曲线C₁的直角坐标方程为x²+y²=y+

3

x，即x²+y²-

3

x-y=0．
曲线C₂的极坐标方程化为

1

2

ρsinθ+

3

2

ρcosθ=4，
则曲线C₂的直角坐标方程为

1

2

y+

3

2

x=4，即

3

x+y-8=0．
（Ⅱ）将曲线C₁的直角坐标方程化为（x-

3

2

）²+（y-

1

2

）²=1，
它表示以（

3

2

，

1

2

）为圆心，以1为半径的圆．
该圆圆心到曲线C₂即直线

3

x+y-8=0的距离
d=

| 3 × 3 2 + 1 2 -8|

2

=3，
所以|AB|的最小值为3-1=2．

点评：掌握极坐标方程化为普通方程的公式和点到直线的距离公式及转化思想是解题的关键．