Question

已知函数y=kx+2-k 的图象恒过点P，若P在直线 mx+ny-1=0 （m＞0，n＞0）上，那么log₂m+log₂n的最大值为

-3

．

Answer 1

分析：可求得函数y=kx+2-k 的图象恒过的定点P的坐标，将其代入直线 mx+ny-1=0，求得m，n之间的关系式，利用基本不等式即可求得答案．

解答：解：∵y=kx+2-k，
∴k（x-1）+2-y=0，
当x=1时，y=2，
∴函数y=kx+2-k 的图象恒过点P（1，2）．
∵P（1，2）在直线 mx+ny-1=0（m＞0，n＞0）上，
∴m+2n=1，又m＞0，n＞0，
∴1=m+2n≥2

2mn

，
∴mn≤

1

8

（当且仅当m=2n=

1

2

时取“=”）．
∴log₂m+log₂n=log₂mn≤log2

1

8

=-3．
∴log₂m+log₂n的最大值为-3．

点评：本题考查恒过定点的直线，考查对数的运算性质及基本不等式的应用，属于中档题．