Question

已知函数的两条切线PM、PN，切点分别为M、N.
（I）当时，求函数的单调递增区间；
（II）设|MN|=，试求函数的表达式；
（III）在（II）的条件下，若对任意的正整数，在区间内，总存在m＋1个数使得不等式成立，求m的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）
（Ⅲ）m的最大值为6

（I）当 …………………1分
.则函数有单调递增区间为………2分
（II）设M、N两点的横坐标分别为、，

…………………4分

             

             同理，由切线PN也过点（1，0），得 （2）
由（1）、（2），可得的两根，
…………………………………………………………6分


把（*）式代入，得
因此，函数…………………8分
（III）易知上为增函数，

……………10分


由于m为正整数，.……………………………………………………13分
又当
因此，m的最大值为6.