Question

6．设关于x的方程是x²-（tanθ+i）x-（2+i）=0．
（1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根；
（2）证明：对任意θ≠kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），方程无纯虚数根．

Answer 1

分析 （1）先将原方程可化为x²-xtanθ-2-（x+1）i=0，再根据复数相等的条件得出左边复数的实部与虚数都为0得到关于θ的方程组，解之即得．
（2）利用反证法证明方程有纯虚数根，推出矛盾即可．

解答 解：（1）原方程可化为x²-xtanθ-2-（x+1）i=0，方程有实数根，设为x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-xtanθ-2=0\\ x+1=0\end{array}\right.$．
又θ是锐角，解得x=-1，
故θ=$\frac{π}{4}$．
（2）证明：假设方程有纯虚数根，可设根为bi，b≠0，b∈R，
则x²-（tanθ+i）x-（2+i）=0化为-b²-（tanθ+i）bi-（2+i）=0，
即-b²-ibtanθ-2+b-i=0，可得-b²-2+b=0，解得b=$\frac{1±\sqrt{7}i}{2}$∉R，
与假设矛盾，
所以方程无纯虚数根．

点评 本小题主要考查复数的基本概念、一元二次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于基础题．