Question

已知函数f(x)=

1

4

x4+x3-

9

2

x2+cx有三个极值点．
（I）证明：-27＜c＜5；
（II）若存在实数c，使函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）题目中：“有三个极值点”先转化为其导数的零点问题，即f'（x）=x³+3x²-9x+c=0有三个互异的实0即可；
（2）存在性问题，由于f（x）的单调递减区间是（-∞，x₁]，[x₂，x₃]，只需[a，a+2]是（-∞，x₁]或[x₂，x₃]的子集即可．

解答：解：（I）因为函数f(x)=

1

4

x4+x3-

9

2

x2+cx有三个极值点，
所以f'（x）=x³+3x²-9x+c=0有三个互异的实根．
设g（x）=x³+3x²-9x+c，则g'（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1），
当x＜-3时，g'（x）＞0，g（x）在（-∞，-3）上为增函数；
当-3＜x＜1时，g'（x）＜0，g（x）在（-3，1）上为减函数；
当x＞1时，g'（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上为增函数；
所以函数g（x）在x=-3时取极大值，在x=1时取极小值．
当g（-3）≤0或g（1）≥0时，g（x）=0最多只有两个不同实根．
因为g（x）=0有三个不同实根，所以g（-3）＞0且g（1）＜0．
即-27+27+27+c＞0，且1+3-9+c＜0，
解得c＞-27，且c＜5，故-27＜c＜5．
（II）由（I）的证明可知，当-27＜c＜5时，f（x）有三个极值点．
不妨设为x₁，x₂，x₃（x₁＜x₂＜x₃），则f'（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）．
所以f（x）的单调递减区间是（-∞，x₁]，[x₂，x₃]
若f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，
则[a，a+2]?（-∞，x₁]，或[a，a+2]?[x₂，x₃]，
若[a，a+2]?（-∞，x₁]，则a+2≤x₁．由（I）知，x₁＜-3，于是a＜-5．
若[a，a+2]?[x₂，x₃]，则a≥x₂且a+2≤x₃．由（I）知，-3＜x₂＜1．
又f'（x）=x³+3x²-9x+c，当c=-27时，f'（x）=（x-3）（x+3）²；
当c=5时，f'（x）=（x+5）（x-1）²．
因此，当-27＜c＜5时，1＜x₃＜3．所以a＞-3，且a+2≤3．
即-3＜a＜1．故a＜-5，或-3＜a＜1．反之，当a＜-5，或-3＜a＜1时，
总可找到c∈（-27，5），使函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减．
综上所述，a的取值范围是（-∞，-5）∪（-3，1）．

点评：本题考查了导数的几何意义，利用导数求闭区间上函数的最值，恒成立问题的处理方法