Question

已知定义在R上的函数y=f（x），其图象为连续不断的曲线，且满足f（2+x）=f（-x），（x-1）f′（x）＞0，若f（x）＞f（x+2），则x∈

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：根据条件判断函数的对称性和单调性，构造函数g（x）=f（x+1），将不等式进行转化即可得到结论．

解答： 解：由f（2+x）=f（-x），则函数关于x=1对称，
由（x-1）f′（x）＞0可知当x＞1时f′（x）＞0，函数单调递增，
当x＜1时f′（x）＜0，函数单调递减，
设g（x）=f（x+1），则g（x）关于y轴对称，且当x＞0时函数递增，x＜0时，函数递减．
则f（x）＞f（x+2），等价为f（x-1+1）＞f（x+1+1），
即g（x-1）＞g（x+1），
则等价为g（|x-1|）＞g（|x+1|），
则|x-1|＞|x+1|．
平方得x²-2x+1＞x²+2x+1，
即x＜0，
故不等式f（x）＞f（x+2）的解为（-∞，0），
故答案为：（-∞，0）．

点评：本题主要考查不等式的解法，根据条件判断函数的单调性和对称性是解决本题的关键，综合考查函数的性质．