Question

已知函数f(x)=2x2+1(x∈R)，且对于任意的x恒有f（x）≥f（x₀），则x₀=

0

．

Answer 1

分析：由f(x)=2x2+1(x∈R)，知f′（x）=2x•2 x2+1•ln2．令f′（x）=2x•2 x2+1•ln2=0，得x=0．列表讨论知函数f(x)=2x2+1(x∈R)在x=0处取得最小值f（0）=2．由此能求出x₀的值．

解答：解：∵f(x)=2x2+1(x∈R)，
∴f′（x）=2x•2 x2+1•ln2，
令f′（x）=2x•2 x2+1•ln2=0，得x=0．
列表，讨论

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	极小值	↑

∴函数f(x)=2x2+1(x∈R)在x=0处取得极小值f（0）=2．
∵函数f(x)=2x2+1(x∈R)只有一个极小值，故这个极小值就是函数f(x)=2x2+1(x∈R)的最小值．
∵函数f(x)=2x2+1(x∈R)对于任意的x恒有f（x）≥f（x₀），
∴f（x）≥f（x）_min=f（0），
∴x₀=0．
故答案为：0．

点评：本题考查函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的合理运用．