分析 根据正弦定理余弦定理和基本不等式即可证明$\frac{sinA}{sinA+sinB}$+$\frac{sinC}{sinB+sinC}$=1是∠B≤60°的充分条件,举反例即可说明不是必要条件.
解答 证明:根据正弦定理,$\frac{sinA}{sinA+sinB}$+$\frac{sinC}{sinB+sinC}$=$\frac{a}{a+b}$+$\frac{c}{b+c}$=1,
∴a(b+c)+c(a+b)=(a+b)(b+c),
∴b2=ac,
根据余弦定理,得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$,当且仅当a=c是取等号,
∵0<B<180°,
∴∠B≤60°,
∴$\frac{sinA}{sinA+sinB}$+$\frac{sinC}{sinB+sinC}$=1是∠B≤60°的充分条件,
当A=90°,C=30°,B=60°时,
$\frac{sinA}{sinA+sinB}$+$\frac{sinC}{sinB+sinC}$=$\frac{1}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}$+$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4-2$\sqrt{3}$+2($\sqrt{3}$-1)=2≠1,
∴$\frac{sinA}{sinA+sinB}$+$\frac{sinC}{sinB+sinC}$=1是∠B≤60°的充分不必要条件
点评 本题借助于充要条件,考查了正弦定理,余弦定理,基本不等式,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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A. | 12 | B. | 20 | C. | 16 | D. | 32 |
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科目:高中数学 来源:2016-2017学年河北冀州市高二文上月考三数学试卷(解析版) 题型:解答题
从一条生产线上每隔30分钟取一件产品,共取了件,测得其产品尺寸后,画出其频率分布直方图如图,已知尺寸在内的频数为92.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求尺寸在内产品的个数;
(Ⅲ)估计尺寸大于25的频率.
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