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已知双曲线实轴在x轴,且实轴长为2,离心率e=
3
,L是过定点p(1,1)的直线.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)判断L能否与双曲线交于A,B两点,且线段AB恰好以点P为中点,若存在,求出直线L的方程,若不存,说明理由.
考点:双曲线的简单性质
专题:计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析:(1)由题意可得a=1,由离心率公式和a,b,c的关系可得b,进而得到双曲线的方程;
(2)先假设存在这样的直线l,分斜率存在和斜率不存在设出直线l的方程,当k存在时,与双曲线方程联立,消去y,得到关于x的一元二次方程,直线与双曲线相交于两个不同点,则△=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0,k<
3
2
,P是线段AB的中点,则
x1+x2
2
=1,解得k=2 与k<
3
2
,矛盾,当k不存在时,直线经过点P但不满足条件,故符合条件的直线l不存在.
解答: 解:(1)由于2a=2,即a=1,
离心率e=
3
即为
c
a
=
3
,则c=
3

b2=c2-a2=3-1=2,
则双曲线的方程为x2-
y2
2
=1;
(2)设过点P(1,1)的直线方程为y=k(x-1)+1或x=1.
①当k存在时有
y=k(x-1)+1
2x2-y2=2

得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0,
当直线与双曲线相交于两个不同点,则必有
△=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0,解得k<
3
2

又方程的两个不同的根是两交点A、B的横坐标,
∴x1+x2=
2(k-k2)
2-k2

又M(1,1)为线段AB的中点,
x1+x2
2
=1即
k-k2
2-k2
=1,解得,k=2.
由于k=2,使2-k2≠0但使△<0,
因此当k=2时,方程无实数解.
故过点P(1,1)与双曲线交于两点A、B,
且P为线段AB中点的直线不存在.
②当x=1时,直线经过点P但不满足条件,
综上,符合条件的直线l不存在.
点评:本题考查双曲线的方程和性质,考查直线与双曲线的位置关系,特别是相交时的中点弦问题,解题时要特别注意韦达定理的重要应用,学会判断直线与曲线位置关系的判断方法.
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e1
e2
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=2
e1
-
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=
e1
e2
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B、-2
C、-
1
2
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1
2

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1
2
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x2
36
-
y2
64
=1的焦点坐标是(  )
A、(0,-10),(0,10)
B、(-10,0),(10,0)
C、(-2
7
,0),(2
7
,0)
D、(0,-2
7
),(0,2
7

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