【题目】已知函数,其中
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)若在上存在,使得成立,求的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)函数的单调区间与导数的符号相关,而函数的导数为,故可以根据的符号讨论导数的符号,从而得到函数的单调区间.(2)若不等式 在 上有解,那么在上, .但在上的单调性不确定,故需分 三种情况讨论.
解析:(1),
①当时,在上, 在上单调递增;
②当时,在上;在上;所以在上单调递减,在上单调递增.
综上所述,当时, 的单调递增区间为,当时, 的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)若在上存在,使得成立,则在上的最小值小于.
①当,即时,由(1)可知在上单调递增, 在上的最小值为,由,可得,
②当,即时,由(1)可知在上单调递减, 在上的最小值为,由,可得 ;
③当,即时,由(1)可知在上单调递减,在上单调递增, 在上的最小值为,因为,所以,即,即,不满足题意,舍去.
综上所述,实数的取值范围为.
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【题目】时值金秋十月,正是秋高气爽,阳光明媚的美好时刻。复兴中学一年一度的校运会正在密锣紧鼓地筹备中,同学们也在热切地期盼着,都想为校运会出一份力。小智同学则通过对学校有关部门的走访,随机地统计了过去许多年中的五个年份的校运会“参与”人数及相关数据,并进行分析,希望能为运动会组织者科学地安排提供参考。
附:①过去许多年来学校的学生数基本上稳定在3500人左右;②“参与”人数是指运动员和志愿者,其余同学均为“啦啦队员”,不计入其中;③用数字1、2、3、4、5表示小智同学统计的五个年份的年份数,今年的年份数是6;
统计表(一)
年份数x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
“参与”人数(y千人) | 1.9 | 2.3 | 2.0 | 2.5 | 2.8 |
统计表(二)
高一(3)(4)班参加羽毛球比赛的情况:
男生 | 女生 | 小计 | |
参加(人数) | 26 | b | 50 |
不参加(人数) | c | 20 | |
小计 | 44 | 100 |
(1)请你与小智同学一起根据统计表(一)所给的数据,求出“参与”人数y关于年份数x的线性回归方程,并预估今年的校运会的“参与”人数;
(2)学校命名“参与”人数占总人数的百分之八十及以上的年份为“体育活跃年”.如果该校每届校运会的“参与”人数是互不影响的,且假定小智同学对今年校运会的“参与”人数的预估是正确的,并以这6个年份中的“体育活跃年”所占的比例作为任意一年是“体育活跃年”的概率。现从过去许多年中随机抽取9年来研究,记这9年中“体活跃年”的个数为随机变量,试求随机变量的分布列、期望和方差;
(3)根据统计表(二),请问:你能否有超过60%的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关?
参考公式和数据一:,,,
参考公式二:,其中.
参考数据:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】如图,在正方体ABCD中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为B的中点,F为的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的法向量的是( )
A. (1,-2,4) B. (-4,1,-2)
C. (2,-2,1) D. (1,2,-2)
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【题目】某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取60名同学将其成绩(百分制,均为整数)分成, , , , , 六组后,得到部分频率分布直方图(如图),观察图形中的信息,回答下列问题:
(1)求分数内的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)从频率分布直方图中,估计本次考试成绩的中位数;
(3)若从第1组和第6组两组学生中,随机抽取2人,求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率.
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【题目】椭圆,是椭圆与轴的两个交点,为椭圆C的上顶点,设直线的斜率为,直线的斜率为,.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设直线与轴交于点,交椭圆于、两点,且满足,当的面积最大时,求椭圆的方程.
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【题目】随着中国经济的腾飞,互联网的快速发展,网络购物需求量不断增大.某物流公司为扩大经营,今年年初用192万元购进一批小型货车,公司第一年需要付保险费等各种费用共计12万元,从第二年起包括保险费、维修费等在内的所需费用比上一年增加6万元,且该批小型货车每年给公司带来69万元的收入.
(1)若该批小型货车购买n年后盈利,求n的范围;
(2)该批小型货车购买几年后的年平均利润最大,最大值是多少?
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【题目】某小卖部为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖出的热饮杯数与当天气温(平均温度)的对比表:
0 | 1 | 3 | 4 | |
140 | 136 | 129 | 125 |
(1)请在图中画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(3)如果某天的气温是,试根据(2)求出的线性回归方程预测这天大约可以卖出的热饮杯数.
参考公式:最小二乘法求线性回归方程系数公式:,.
参考数据:.
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